collapse collapse

Skupovi

Tema: Realni brojevi (Skup R), algebarska struktura i uredjeno polje realnih brojeva  (Pročitano 818 puta)


Skup realnih brojeva (R) sadrzi sve racionalne i iracionalne brojeve:

N \subset Z \subset Q \subset R   \wedge    R = Q \cup I

Kao i kod vec pominjane algebarske strukture (N, +, \cdot) i njenih prosirenja na skupove Z i Q ( pogledaj teme: Prirodni brojevi (Skup N), Celi brojevi (Skup Z), Racionalni brojevi (Skup Q)) i algebarska struktura realnih brojeva (R, +, \cdot) nasledjuje osobenosti od 10 do 100, dok uredjeno polje realnih brojeva (R, +, \cdot, \leqslant), nasledjuje osobenosti 110 do 150, uz manje izmene u tacki 110 i dodatak tacke 170 (uz ovu tacku postaje potpuno uredjeno polje).

Potpuno uredjeno polje realnih brojeva, u oznaci (R, +, \cdot, \leqslant), cini skup realnih brojeva R u kom su definisane binarne operacije: sabiranje i mnozenje i jedna binarna relacija: manje ili jednako, tako da (za ma koje elemente a, b, c skupa R) vaze sledece osobine:

10   a+b \in R,  a\cdotb \in R
  (kazemo da su operacije sabiranja i mnozenja "zatvorene" u skupu R)

20   a+(b+c) = (a+b)+c  (u skupu R vazi zakon asocijacije za sabiranje)

30   a+b = b+a   (u skupu R vazi komutativni zakon za sabiranje)

40   a\cdot(b\cdotc) = (a\cdotb)\cdotc      (vazi asocijativni zakon za mnozenje)

50   a\cdotb = b\cdota    (vazi komutativni zakon za mnozenje)

60   a\cdot(b+c) = a\cdotb + a\cdotc,  (b+c)\cdota = b\cdota + c\cdota
  (vazi distributivni zakon mnozenja prema sabiranju)

70   1\cdota = a\cdot1 = a   (broj jedan je neutralan pri mnozenju)

80   0+a = a+0 = a  (egzistencija nule i neutralnost nule pri sabiranju)

90   a+ (-a) = (-a) + 0 = 0  (egzistencija suprotnog broja -a za broj a)

100 za svako a \in R\{0} postoji jedinstven broj a-1 (inverzni element elementa a), takav da je:

a \cdot a-1 = a-1 \cdot a = 1 (egzistencija inverznog elementa)

110   za svako a \in R vazi:  a \leqslant a   (relacija je refleksivna)

120   Ako je a \leqslant b i b \leqslant a tada je a = b   (zakon antisimetricnosti relacije \leqslant)

130   Ako je a \leqslant b i b \leqslant c tada je a \leqslant c   (Zakon tranzitivnosti relacije \leqslant)

140   Za svako c \in R, iz a \leqslant b sledi a+c \leqslant b+c   (saglasnost relacije \leqslant prema sabiranju)

150    Ako je 0 \leqslant a i 0 \leqslant b tada je 0 \leqslant ab  (saglasnost relacije \leqslant prema mnozenju)

160    Za sve elemente a,b \in R vazi tvrdjenje:
ili je a \leqslant b ili je b \leqslant a  (zakon uporedivosti)

170   Ako su A i B neprazni podskupovi skupa R i ako je ispunjeno: a \leqslant b, za svako a \in A i svako b \in B, tada postoji c \in R takvo da je, za svako a \in A i za svako b \in B, ispunjeno:  a \leqslant c \leqslant b.



   « Poslednja izmena: 07. 05. 2013. | 12:48:07 Matematika »

Matematika