collapse collapse

Kvadratna funkcija

Tema: Iracionalne jednacine  (Pročitano 1868 puta)

Autor: Matematika | 04. 01. 2013. | 14:35:51

Iracionalne jednacine su jednacine kod kojih se nepoznata nalazi pod znakom korena.

Osnovna metoda resavanja ovih jednacina je metoda eliminacije korena.

Ako je dobijena jednacina ekvivalentna sa polaznom, njenim resavanjem resicemo i polaznu.
Ako je dobijena jednacina posledica polazne, tada nam se moze desiti da pored svih resenja za polaznu jednacinu dobijemo i neka koja to nisu (koja su 'visak').

Kod iracionalnih jednacina prihvatljiva su samo realna resenja.

Najcesci nacin oslobadjanja od korena je stepenovanje (obicno kvadriranje).
Ovde treba voditi racuna o tome da, npr. -2 \neq 2, ali jeste (-2)2 = 22.

Pa mozemo zakljuciti:

a(x) = b(x) \Leftrightarrow a2(x) = b2(x), ako i samo ako su a(x) i b(x) istog znaka.
Pored toga, za svako dobijeno resenje proveriti da li je i resenje polazne iracionalne jednacine.

Primer (klikni i pogledaj):

Resimo iracionalnu jednacinu: x + 1\sqrt{x + 7}

kvadriranjem dobijamo:

(x + 1)2 = x + 7 \Leftrightarrow
x2 + 2x + 1 = x + 7 \Leftrightarrow
x2 + x - 6 = 0 \Leftrightarrow
x = 2 ili x = -3.

Proverimo resenja:

2 + 1 = \sqrt{2 + 7}
3 = 3;

-3 + 1 = \sqrt{-3 + 7}
-2 = \sqrt{4};

odakle sledi da x = 2 jeste resenje ove iracionalne jednacine, dok x = -3 to nije.



Ovakav nacin resavanja je dobar samo za slucajeve kada imamo mali broj lako proverljivih resenja, ali je nepogodan u opstem slucaju, narocito kada imamo citave intervale resenja (kod iracionalnih nejednacina).

Zbog toga koristimo malo slozeniji nacin resavanja:

Jednacina  \sqrt{a(x)} = b(x) ekvivalentna je sistemu: a(x) = b2(x) i b(x) \geqslant 0.


Naime, vazi:

\sqrt{a(x)} = b(x) \Leftrightarrow
\sqrt{a(x)} = b(x) \wedge a(x) \geqslant 0 \wedge b(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow
a(x) = b2(x) \wedge a(x) \geqslant 0 \wedge b(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow
a(x) = b2(x) \wedge b(x) \geqslant 0,

jer ako je a(x) = b2(x), sigurno vazi i da je a(x) \geqslant 0.


   « Poslednja izmena: 11. 03. 2013. | 06:35:02 Matematika »

Matematika

Iracionalne jednacine
« poslato: 04. 01. 2013. | 14:35:51 »